原創(chuàng)：中科院物理所

你能解出下面的式子嗎？

(資料圖片僅供參考)

這是1911年拉馬努金尚未成名時公開提出的第一個問題。答案會在下面的“數(shù)學”章節(jié)公布，如果你想試著求一下，記得在滑到那里之前得到答案。

斯里尼瓦薩·拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan)是有史以來最偉大的數(shù)學家之一。今天的數(shù)學家還沒能完全理解他的成果。他的工作不僅被應(yīng)用到數(shù)學中，后來還被用到物理學的黑洞和弦論中。

著名數(shù)學家小野?。↘en Ono）寫道：“拉馬努金的智慧甚至比全世界所有頂尖數(shù)學家的加起來還要多?！?/p>

與拉馬努金相識的大數(shù)學家林特伍德（J. E. Littlewood）說“所有自然數(shù)都是拉馬努金的密友”，他仿佛知道每個數(shù)字的個性一樣。

弗里曼·戴森（Freeman Dyson）這樣評價他：“我覺得拉馬努金更像莫扎特，在他眼里數(shù)學是一門自然而然、顯而易見的學問。他的天賦是我們無法理解的奇跡?！?/p>

更出名的是這樣一則軼事：

著名數(shù)學家哈代乘出租車去醫(yī)院看望拉馬努金。為了幫他解悶，哈代告訴拉馬努金說，出租車的編號是1729，“一個看起來沒什么意思的數(shù)字”。拉馬努金卻說：“不，這是個非常有趣的數(shù)字。在所有能用兩種方式寫成兩個自然數(shù)立方和的數(shù)字中，它是最小的那個?！崩R努金指的是，我們現(xiàn)在把這種數(shù)叫做的士數(shù)。

盡管擁有非凡的成就，但拉馬努金基本上是自學成才，沒有接受過正規(guī)的數(shù)學教育。

他對分析、數(shù)論、無限級數(shù)和連分數(shù)等領(lǐng)域做出了重大貢獻，包括解決當時被認為無法解決的數(shù)學問題。事實上，人們估計在拉馬努金短暫的一生中，他發(fā)現(xiàn)了大約3900個有意義的公式！

拉馬努金的故事是數(shù)學界最偉大的故事之一。通過對薄薄一本書的啟發(fā)和研究，拉馬努金能夠提出數(shù)千個定理。其中一些是對數(shù)學界已經(jīng)證明和已知的結(jié)果的重新發(fā)現(xiàn)（他獨立推導出了歐拉、高斯等人在他之前發(fā)現(xiàn)的許多結(jié)果），還有一些是前所未見的新發(fā)現(xiàn)。

在這里，我們將嘗試了解拉馬努金的生平和數(shù)學天賦。我們還將看到他的一些驚人成就，直到今天，數(shù)學家們還不知道他是如何取得這些成就的。

自學成才的神童

拉馬努金小時候就才華出眾。

1887年，拉馬努金生于印度。全家住在一個傳統(tǒng)的小房子里。他的母親是家庭主婦，有時會去當?shù)厮聫R祈誦。大約十歲時，拉馬努金以全地區(qū)第一的成績從小學畢業(yè)。進入中學后，他第一次接觸到了正式的數(shù)學。

13歲時，他借到了一本高等三角學的書，掌握了這個領(lǐng)域。這個年紀，他已經(jīng)獨立發(fā)現(xiàn)了一些復(fù)雜的定理。14歲時，他幫助老師把1200名學生分派給35名老師指導。

在數(shù)學考試里，拉馬努金只用一半時間就能答完題，并且他對幾何和無窮級數(shù)也十分熟悉。1902年，拉馬努金已經(jīng)了掌握如何求解三次方程。后來，他發(fā)展出了自己獨特的四次方程解法。

真正喚醒拉馬努金天賦的轉(zhuǎn)折點是在1903年，16歲的拉馬努金拿到了一本凱爾（G. S. Carr）的《純粹和應(yīng)用數(shù)學基本結(jié)果概要》。這本書寫于1886年，總結(jié)了當時已知的絕大多數(shù)數(shù)學結(jié)論。據(jù)說拉馬努金仔細地研究了這本書里面5000個數(shù)學定理。

第二年，拉馬努金發(fā)現(xiàn)并研究了伯努利數(shù)，并將歐拉-馬斯切羅尼常數(shù)計算到了小數(shù)點后15位——這是一項里程碑式的成就。當拉馬努金1904年中學畢業(yè)時，校長說他是一個應(yīng)當獲得比滿分還高的分數(shù)的優(yōu)秀學生。

接下來在大學里，只有數(shù)學才能讓拉馬努金集中注意力。這給他帶來了一些麻煩，因為他很難通過其他課程。他最終肄業(yè)，也沒找到工作。他陷入了極端貧困中，經(jīng)常食不果腹。然而，他仍然盡一切可能進行獨立研究。

當時，拉馬努金疾病纏身，到1910年下半年，他已經(jīng)十分虛弱了。他把筆記本交給一位朋友，并叮囑朋友，如果自己出現(xiàn)意外，就把筆記本寄給其他數(shù)學家。好在拉馬努金最終康復(fù)并拿回了筆記本。就在同一年，其他數(shù)學家逐漸了解了拉馬努金的才華。最終，他的一些工作發(fā)表在了印度數(shù)學會的學報上。

拉馬努金與哈代

1913年一月16日，拉馬努金向當時第一流的數(shù)學家哈代（G. H. Hardy）寫了一封信。在信的開頭，拉馬努金提到自己是自學成才。他寫道：“我是一名職員…… 我并未受過大學教育…… 但我正在為自己開辟一條新道路……”

接下來是幾頁數(shù)學推演，其中一些內(nèi)容之前有人推導過，還有一些不完全正確，但這封信結(jié)尾有三個非凡的公式。哈代被這幾個公式震驚了，他回信說：

這些公式完全征服了我。我之前從未見過類似的東西……能寫下它們的人一定是最頂尖的數(shù)學家。這些公式肯定是對的，因為沒有人會擁有發(fā)明它們的想象力。

哈代

哈代請同事林特伍德來審讀這些論文。林特伍德同樣被拉馬努金的天才所震驚。在與林特伍德討論過這些論文后，哈代總結(jié)說拉馬努金一定是“最優(yōu)秀的數(shù)學家，一個擁有非凡創(chuàng)造力和力量的人”

隨后哈代給拉馬努金回信，請他來英國學習。但哈代也強調(diào)證據(jù)的重要性，“很有必要讓我看一下你所寫斷言的證明。”

拉馬努金在信中只簡單寫下了受書啟發(fā)得到的公式，而完全沒有寫證明。但對于數(shù)學家而言，沒有證明的命題并不比猜想更好。他們很快建立了通信聯(lián)系，拉馬努金給哈代寄了更多的數(shù)學內(nèi)容。

僅僅在最初兩封信中，拉馬努金就給哈代提供了120個定理！哈代不知道的是，拉馬努金有厚厚兩本記滿了漂亮的數(shù)學命題的筆記本，其中第二本就有21章。在與林特伍德一起看過筆記本中一部分內(nèi)容以后，哈代評論說，“只有歐拉和雅克比能與拉馬努金并肩?！?/p>

拉馬努金在劍橋與哈代和林特伍德合作了近五年。盡管拉馬努金的天賦肉眼可見，但他們之間的合作并不容易。哈代追求嚴謹?shù)淖C明，但拉馬努金有著完全不同的信仰，并且十分堅定。他相信女神在夢中賦予他數(shù)學直覺。

哈代和拉馬努金開始一起證明拉馬努金的一些命題。哈代竭盡所能以現(xiàn)代數(shù)學的方式教育和指導拉馬努金。

一戰(zhàn)期間，拉馬努金在英國的處境十分困難。他是素食主義者，但幾乎買不到蔬菜。作為印度人，他在英國受到了嚴酷的種族歧視，而且非常孤獨（盡管他有無窮多個自然數(shù)朋友）。好在，拉馬努金最終克服了這些障礙。

1918年5月2日，拉馬努金憑借“對橢圓函數(shù)及對數(shù)論的貢獻”當選英國皇家學會會員，他也是皇家學會史上最年輕的會員之一。1918 年 10 月 13 日，他成為第一位當選為劍橋大學三一學院院士的印度人。

拉馬努金的數(shù)學

每篇介紹拉馬努金的文章都會包含一些他的數(shù)學成果，所以在這里，我們列出了他的一些發(fā)現(xiàn)。但需要強調(diào)的是，這篇文章不可能包含他發(fā)現(xiàn)的所有公式，因為總共有3900個！

哈代曾說拉馬努金的發(fā)現(xiàn)異常豐富，而且往往有比最初看上去更豐富的內(nèi)容。拉馬努金的發(fā)現(xiàn)還有另一個鮮明的特點，那就是它通常都涉及到很大的數(shù)字或者很復(fù)雜的表達式，幾乎只能用計算機才能計算。當然，在20世紀初，還沒有這樣的計算機。

事實上，我們并不清楚拉馬努金是如何做到的。這是整篇故事里最大的謎團。

拉馬努金的π表達式

這部分很有趣，拉馬努金發(fā)現(xiàn)了1/π的一個新的表達式，這是一個無窮級數(shù)。

這個級數(shù)收斂得極快，現(xiàn)在人們用來計算π的算法就以它為基礎(chǔ)。這個級數(shù)的第一項就給出了π的前七位有效數(shù)字，前兩項給出了15位有效數(shù)字。事實上，每多計算一項，這個級數(shù)就可以多給出8位有效數(shù)字！

發(fā)散級數(shù)

拉馬努金研究了無窮發(fā)散級數(shù)——根據(jù)阿貝爾的說法，這是魔鬼的杰作，凡人不可觸碰。然而，拉馬努金可以給不同的發(fā)散求和賦予一些數(shù)學意義。其實，一個后來震撼互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)散級數(shù)就是拉馬努金發(fā)現(xiàn)的：

我們可以通過為等號賦予特殊的含義來使這個式子成立。事實上，這樣的結(jié)果與物理中的一些實驗現(xiàn)象吻合，例如兩個金屬板之間的卡西米爾力。

無窮嵌套平方根

回到印度以后，拉馬努金向數(shù)學界提出了一項挑戰(zhàn)：求出下列無窮嵌套平方根的值。

拉馬努金等了六個月，但沒人能給出答案。于是他直接發(fā)表了答案，答案并不復(fù)雜，就是3。

幾乎是整數(shù)

沒人知道拉馬努金是怎么做到的，但他確實找出了這樣幾個很接近整數(shù)的冪指數(shù)：

實際上，上面公式中的平方根通過L函數(shù)、橢圓曲線和模形式理論與所謂“類數(shù)”相聯(lián)系。

無限連乘的積分

在寄給哈代的第一封信中，拉馬努金在第三頁末尾寫下了一個逆天的積分：

它在0 < a < b + 1/2時成立。

一般來說，把這種倒霉函數(shù)連乘再積分，還能得到封閉且美觀的解，是一件幾乎不可能的事。這實在讓人難以相信。

劃分數(shù)

在集合論中，一個集合分成的一組非空子集叫做劃分。對于一個n元集合，不同劃分的方式叫做劃分數(shù)p(n)。

拉馬努金推導出了下面這個用于計算劃分數(shù)的公式

其中，

這個級數(shù)的第一項就是p(n)的一個很好的近似，而拉馬努金發(fā)現(xiàn)

最后的評論

拉馬努金的公式優(yōu)美、巧妙而獨特。有些公式如同神跡，直到今天我們?nèi)圆恢览R努金是怎么得到它們的，這是一個巨大的謎團。

拉馬努金的成果主要包括：

解出了沒人覺得有解的上古數(shù)學謎題

啟迪并引領(lǐng)了許多現(xiàn)代數(shù)學的研究領(lǐng)域，比如數(shù)論中模形式的重要性、韋伊猜想（Weil conjectures）、L函數(shù)和朗蘭茲綱領(lǐng)（Langlands program）

黑洞物理、類θ函數(shù)、弦論和量子引力理論等物理理論

拉馬努金的身體一直不好，最終不幸病逝于1920年。他臨終前的工作后來成為黑洞和弦論等復(fù)雜物理理論的數(shù)學基礎(chǔ)。當然，拉馬努金沒法想象出黑洞這樣的東西，但這洽洽凸顯出他強大的直覺和天賦。

著名物理學家加來道雄這樣評價拉馬努金：“拉馬努金是整個數(shù)學界，甚至可能是整個科學史上最奇怪的人。他如同一顆爆發(fā)的超新星，照亮了數(shù)學最黑暗、最深刻的角落，然后在 33 歲時不幸被肺結(jié)核擊倒，就像他的前輩黎曼一樣?！?/p>

人們把拉馬努金的故事改編成了小說和電影，希望他的故事能繼續(xù)激勵年輕人追求數(shù)學——不僅作為一門學科，而且作為一門藝術(shù)。

作者：Kasper Müller

翻譯：藏癡

審校：牧羊

原文鏈接：Ramanujan: The Greatest Mathematical

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